台大資工博士班資格考心得:
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台大資工博士班資格考相關資訊
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@線性代數 note
是一個會成長的數學體系。與其他領域經常互動，互相影響。
Vector Space 抽象的向量空間
重要性：微分方程式、微分幾何、機率、動態系統等都有很強烈的互動。
學術團體SIAM(Society for Industrial and Applied Mathematics)社群十分活躍.....與其他許多領域有很多的互動。
數學領域三個最基本核心知識：微積分、高等微積分、線性代數。
@微積分note
重點：函數、極限、微分、積分。
常用英文翻譯
區間 interval 定義
http://mathworld.wolfram.com/Interval.html
[2, oo) ===> 一邊開放，一邊封閉
() ---->開放區間 open interval
http://mathworld.wolfram.com/OpenInterval.html
[]----->封閉區間 closed interval http://mathworld.wolfram.com/ClosedInterval.html
parabola 拋物線
Vertical Line Test 垂直線檢測法
piecewise defined function 分段定義函數
Odd Functions and Even Functions 奇函數與偶函數
配方法：代數技巧
二次函數：拋物線 ---> 有最小、最大值。
三次函數：
奇函數Odd Functions特色：對稱於原點(反曲點 inflection point)(x>0 與x<0 對稱於原點)
如何知道三次函數是否有極大極小值？
polynomial 多項式
---> 標準式(降冪排列) f(x) = x^3 - x^2 - x -1
---> 泰勒式(Taylor)
a / b = q.....r a: 被除數 b: 除數 q: 商數 r: 餘數
綜合除法：
多項式餘式定理：
coefficient 係數
quadratic function 二次函數
cubic function 三次函數(立方體函數)
Power Functions 冪函數
http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_eng/node14.html
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@統計學 note
隨機變數(Random Variable)：
1. 離散型態隨機變數 Discrete Random Variable 例如：生產線上的缺陷品
2. 連續形態隨機變數 Continuous Random Variable 例如：厚度、重量、長度
迴歸分析：由歷史資料預測未來可能的發生情形!!!
圖形：
衡量 集中趨勢(Central Tendency) 的指標：
1. 平均數 Mean：一組資料的重心，所有資料的平衡點。
μ : mu ----> 群體平均數
_
X : x bar ----> 樣本平均數(會有抽樣誤差)
2. 中位數 Median：需要排序。由小排到大，在最中間的數。如果有兩個數，則相加後，在除以二。
3. 眾數 Mode：一組數據中，出現次數最多的數字。
Note: 平均數對 "離群值 outlier" (特別小特or 別大的值)敏感的時候，才用適合用中位數與眾數，來解釋。
範例 1 : 1, 2, 3 ----> mean = 3 median = 2
範例 2 : 1, 2, 17 ----> mean = 10 median = 2 !!! 平均值失去代表性 !!!
衡量 離中趨勢(Statistical Dispersion) 指標：
1. 全距 Range： Range = 最大值 - 最小值
ps. 當資料有outlier時或量大時，就不具代表性。
2. 變異數 Variance：
群體變異數 σ ^ 2 (Sigma Square)
樣本變異數 S^2 (比較常用)
公式
3. 標準差 Standard Deviation：(比較少直接用變異數，都用標準差)
變異數開根號即可---->常用
偏態 Skewness ：
1. 對稱： 平均數 == 中位數
2. 右偏 (正偏 positive)(key: 尾巴往哪偏)： 平均數 >> 中位數
3. 左偏 (負偏 negative)： 平均數 << 中位數
偏態係數 skewness coefficient (g1)：
=0 --->對稱
>0 --->positive 右偏
<0 --->negative 左偏
峰度 Kurtosis：
峰度係數 kurtosis coefficient (g2)：
常態分布 --->峰度係數為 0
g2 > 0 -----> 圖型
g2 < 0 -----> 圖型
Bot Plot
1. 同時比較數筆資料
2. 可分辨離群植
>>統計機率理論的基礎：
定義1 實驗 Experiment (Recording Process) ex: 丟銅板一百次
定義2 樣本空間Sample space： 一個實驗所有可能出現的集合Set
骰子的樣本空間 S = { 1,2,3,4,5,6 }
銅板的樣本空間 S = {(Up,Up),(Down,Up),(Down,Down)}
定義3 事件 Event
1. A Event :{ Odd number(奇數)} ={1,3,5}
定義4 事件的機率
#(A) ---------->A事件的元素個數
P(A) = ---------
#(S) ---------->S樣本空間的數量
事件A與事件B的三種可能性
1. 相依事件 Dependent events
2. 獨立事件 Independent events
3. 互斥事件 Exclusive events
機率三原理：
1. 滿足事件的機率介於0與1之間 0 < P < 1
2. P(空集合 Empty Set)=0 , P(S)=1
3. 如果 A1 A2 A3....Ak 是互斥是見，則
P(A1 ∪ A2 ∪......∪ Ak) = P(A1)+P(A2)+.......P(Ak)
ps:聯集( ∪ )===就是 or 的意思
定義 5 互補事件
事件A：不會發生事件A的事件稱做A'
P(A') = 1 - P(A)
範例：兩個骰子出現不同點數的機率。
S ={(1,1) (1,2).........(6,6)} 共36個可能
先求相同點數的機率：
A' ={(1,1)....(6,6)} 共6個
P(A) = 1- P(A') = 1- 6/36 = 5/6
條件機率Conditional Probability：
∩ 交集 代表And 兩事件同時發生
∪ 聯集 代表 or 兩事件只需要發其一
P(A|B) ==> B事件已經發生的條件下，求A事件發生的機率
B事件已經發生了，A也發生，所以要同時發生。
所以需要求 A∩B A交集B
P(A∩B)
P(A|B) = ------------
P(B)
貝式定理 Bays' Theorem：(條件機率的應用)
_ _
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A) * P(A)
Total Probability
機率分布： Probability Distribution ----> 抽樣分布Sampling Distribution
大架構：
< 敘述統計 Descriptive Statistics ：統計方法來描述資料
< 推論統計 Inferential Statistics：如何由樣本推導群體母體，要利用機率觀念(機率論、機率分布、抽樣分布)來推導樣本與母體之間的關係。
# 離散型態隨機變數 Discrete Random Variable 例如：生產線上的缺陷品
1. 0 <= p(x)<= 1
2. 總和 p(x) = 1
>>>如何找出？
1. 建立一個表，包含隨機變數X的所有可能值
2. 計算所有X之相對機率 p(X)
範例：丟銅板兩次，另X表示正面向上的次數
a 求X的機率分配 b 將p(x)畫成圖
S ={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
X | p(X)
----|----------
0 | 1/4 p(x=0) = 1/4
1 | 2/4
2 | 1/4
期望值(機率分配(分布)的重心---->平均值) 加權之後的總合
E(X) = μ = 加權平均
Bernoulli Distribution:
Variance (變異數)：代表離散程度。也就是該變數與期望值之間的距離。
Expectation (期望值)：代表中心的加權平均(weighted average)
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@機率論Probability note
Bayesian probability 貝氏定理
List
Permutation 排列
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@演算法Algorithms note
演算法基礎數學：
a=[10,2,7,15,3,9,6]
print a
print ' Before'
for j in range(1,7): # n = A's length
key = a[j]
i = j-1
while i>=0 and a[i] > key:
a[i+1]=a[i]
i = i-1
a[i+1]=key
print a
print ' After'
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@機器學習 Machine Learning note
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